点到点的距离公式在数学中，点与点之间的距离是几何学中的一个基本概念。无论是在平面直角坐标系还是空间直角坐标系中，计算两点之间的距离都有固定的公式。掌握这些公式对于解决实际难题、几何分析以及物理运动轨迹的计算都具有重要意义。
一、点到点的距离公式拓展资料
| 坐标系类型 | 公式 | 说明 |
| 平面直角坐标系（二维） | $ d = \sqrt(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} $ | 已知两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，求它们之间的距离 |
| 空间直角坐标系（三维） | $ d = \sqrt(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2} $ | 已知三点 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$，求它们之间的距离 |
二、公式的推导原理
点到点的距离公式来源于勾股定理。在二维平面上，如果两个点之间形成一个直角三角形，那么斜边的长度就是两点之间的距离。通过将横纵坐标的差值平方相加后开根号，即可得到该距离。
在三维空间中，这个想法同样适用，只不过多了一个维度的坐标差。因此，公式在二维基础上增加了第三项。
三、应用实例
例1：
已知点A(1, 2)，点B(4, 6)，求AB之间的距离。
$$
d = \sqrt(4 – 1)^2 + (6 – 2)^2} = \sqrt3^2 + 4^2} = \sqrt9 + 16} = \sqrt25} = 5
$$
例2：
已知点C(0, 3, 1)，点D(2, 5, 4)，求CD之间的距离。
$$
d = \sqrt(2 – 0)^2 + (5 – 3)^2 + (4 – 1)^2} = \sqrt2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt4 + 4 + 9} = \sqrt17}
$$
四、注意事项
– 距离一个非负数，结局始终为正或零。
– 如果两个点重合，则距离为0。
– 公式适用于任何位置的点，只要知道其坐标即可计算。
五、拓展资料
点到点的距离公式是解析几何中的基础工具，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。无论是二维还是三维空间，其核心想法都是基于勾股定理的延伸。领会并熟练运用这些公式，有助于进步空间想象能力和实际难题的解决能力。
